您有权要求司机赔偿。根据《民法典》等法律规定，未完全上车时受伤属交通事故，司机应负责。不及时处理可能导致权益受损，赔偿困难。
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常见处理方式有自行协商、交警调解、诉讼。优先尝试自行协商，不成再寻求交警调解或提起诉讼，根据具体情况选择最合适的方式。
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可要求赔偿。操作如下：1.立即报警并拍照留证；2.与司机协商赔偿，包括医疗费等；3.协商不成，请求交警调解；4.若仍无果，向法院起诉，提交证据。